Bài 1 Trang 82 Sgk Toán 11

     

Tóm tắt triết lý và Giải bài xích 1,2,3 trang 82; Bài 4,5 trang 83 SGK đại số với giải tích 11: cách thức quy hấp thụ toán học. Đây là bài bác đầu tiên Chương 3 Đại số và giải tích lớp 11: Dãy số – cấp số cộng cấp số nhân.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 82 sgk toán 11

A. Nắm tắt lý thuyết

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ∈ N*, ta thường dùng phương thức quy nạp toán học, được triển khai theo hai cách như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): kiểm tra mệnh đề P(n) đúng cùng với n = 1.

Bước 2 ( cách quy nạp): trả thiết mệnh đề P(n) đúng với một vài tự nhiên bất kể n = k, (k ≥ 1) (ta điện thoại tư vấn là trả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng giống với n = k + 1.

Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta tóm lại mệnh đề P(n) đùng với tất cả n ∈ N* 

2. Trong trường hòa hợp phải chứng tỏ một mệnh đề P(n) lf đúng vơi các số tự nhiên và thoải mái n ≥ p. (p là số từ bỏ nhiên) thì:

– Ở bước 1, ta chất vấn mệnh đề P(n) đúng cùng với n = p.

Ở bước 2, ta trả thiết mệnh đề P(n) đúng với một trong những tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và minh chứng rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

3. Phép test với một vài hữu hạn số tự nhiên và thoải mái tuy không hẳn là chứng minh nhưng có thể chấp nhận được ta dự kiến được kết quả. Kết quả này chỉ nên giá thuyết cùng để chứng minh ta có thể dùng cách thức quy nạp toán học.

Một số vấn đề thường gặp

– minh chứng các mệnh đề toán học tương quan đến lập luận lôgic.

– minh chứng các đẳng thức, bất đẳng thức.

– Dự đoán hiệu quả và hội chứng minh.

B. Giải bài bác tập sách giáo khoa bài phương pháp quy nạp toán học – Sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 trang 82,83

Bài 1. Chứng minh rằng cùng với n ∈ N*, ta bao gồm đẳng thức:

*

a) cùng với n = 1, vế trái chỉ có một vài hạng là 2, vế buộc phải bằng(3+1) / 2 = 2

Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bởi Sn.

Giả sử đẳng thức a) đúng cùng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh rằng a) cũng giống với n = k + 1, nghĩa là đề xuất chứng minh

*

Thật vậy, từ mang thiết quy nạp, ta có: 

*
*

(điều nên chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy hấp thụ toán học, hệ thức a) đúng với tất cả n ∈ N*

b) với n = 1, vế trái bởi 1/2, vế phải bằng 1/2, cho nên vì vậy hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức b) đúng cùng với n = k ≥ 1, tức là

*

Ta phải minh chứng

*

Thật vậy, từ mang thiết quy nạp, ta có:

*

(điều đề xuất chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với tất cả n ∈ N*

c) với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bởi 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 cần hệ thức c) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn.


Giả sử hệ thức c) đúng cùng với n = k ≥ 1, tức là

*

Ta yêu cầu chứng minh

*

Thật vậy, từ đưa thiết quy nạp ta có:

*
(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy hấp thụ toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ∈ N*

Bài 2. Chứng minh rằng cùng với n ε N* ta luôn có:

a) n3 + 3n2 + 5n phân chia hết mang đến 3;

b) 4n + 15n – 1 chia hết đến 9;

c) n3 + 11n phân tách hết đến 6.

Đáp án: a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ 3

Ta phải chứng minh rằng Sk+1 ⋮ 3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo đưa thiết quy hấp thụ thì Sk⋮3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên Sk+1 ⋮ 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ 3 với tất cả n ∈ N* .

b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1


Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 ⋮9

Giả sử cùng với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 phân tách hết đến 9.

Xem thêm: Giải Tập Bản Đồ Địa Lí 7 Hay Nhất, Giải Tập Bản Đồ Địa Lí 7

Ta bắt buộc chứng minh Sk+1 ⋮ 9.

Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

Theo đưa thiết quy nạp thì Sk ⋮ 9 cần 4S1 ⋮ 9, ngoài ra 9(5k – 2) ⋮ 9, nên Sk+1 ⋮ 9

Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ 9 cùng với mọi n ∈ N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k ⋮ 6

Ta bắt buộc chứng minh Sk+1 ⋮ 6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

THeo trả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + một là số chẵn bắt buộc 3(k2 + k + 4) ⋮ 6, cho nên Sk+1 ⋮ 6

Vậy n3 + 11n chia hết đến 6 cùng với mọi n ∈ N*

Bài 3 Chứng minh rằng với tất cả số thoải mái và tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1; b) 2n + 1 > 2n + 3

Đáp án: a) hay thấy bất đẳng thức đúng cùng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 2, tức là

3k > 3k + 1 (1)

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 nên

3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 với tất cả số tự nhiên n ≥ 2.

b) với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng cùng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 2, tức là

2k + 1 > 2k + 3 (2)

Ta phải chứng tỏ nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là đề xuất chứng minh

2k + 2 > 2(k + 1) + 3 2k + 2 > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với tất cả số tự nhiên n ≥ 2.

Bài 4. Cho tổng  với n ∈ N* 

a) Tính S1, S2, S3.

b) dự kiến công thức tính tổng Sn và minh chứng bằng quy nạp.

Giải: a) Ta có:

b) tự câu a) ta dự kiến Sn=n/(n+1) (1), cùng với mọi n ∈ N* .

Ta sẽ chứng tỏ đẳng thức (1) bằng cách thức quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bởi 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng cùng với n = ≥ 1, tức là Ta phải chứng tỏ nó cũng đúng vào lúc n = k + 1, tức thị phải minh chứng Ta có

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy đẳng thức (1) vẫn được chứng minh.

Bài 5 trang 83. Chứng minh rằng số đường chéo của một nhiều giác lồi n cạnh là

Giải: Ta minh chứng khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.

Với n = 4, ta tất cả tứ giác nên nó có hai tuyến phố chéo.

Mặt khác rứa n = 4 vào công thức, ta bao gồm số đường chéo của tứ giác theo phương pháp là: 4(4-3)/2 = 2

Vậy xác minh là đúng cùng với n= 4.

Giả sử xác minh là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là k(k – 3)/2


 Ta phải minh chứng khẳng định đúng với n = k + 1. Tức thị phải chứng tỏ đa giác lồi k + 1cạnh tất cả số đường chéo cánh là Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Nối A1 cùng Ak, ta được đa giác k cạnh A1A2…Ak có k(k-3)/2 đường chéo cánh (giả thiết quy nạp). Nối Ak+1 với những đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta nhận thêm k -2 đường chéo, bên cạnh đó A1Ak  cũng là một trong đường chéo.

Xem thêm: How Are You Going Nghĩa Là Gì, Cách Dùng Và Trả Lời Trong Tiếng Anh


Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Vậy việc đã được bệnh minh.