Chuyên đề bất đẳng thức côsi

     



Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức côsi

*
22 trang | chia sẻ: liennguyen452 | Lượt xem: 52113 | Lượt tải: 10
*



Xem thêm: Lịch Sử Lớp 7 Bài 9 Ngắn Nhất: Nước Đại Cồ Việt Thời Đinh, Lịch Sử 7 Bài 9: Nước Đại Cồ Việt Thời Đinh

Bạn đang xem trước trăng tròn trang mẫu mã tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi, để cài đặt tài liệu cội về máy các bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Top 100 Đề Tiếng Anh Lớp 9 Học Kì 1 Tiếng Anh Lớp 9 Có Lời Giải Chi Tiết

Mục lục TrangI.Hệ thống những kiến thức cơ phiên bản về bất đẳng thức Côsi 3II. Các kĩ thuật chính1. Cách thức chứng minh trực tiếp 42. Kĩ thuật cần sử dụng hoán vị vòng 63. Cách thức cân bởi tổng 74. Phương pháp cân bằng tích 95. Cách thức thêm hạng tử và lựa chọn điểm rơi Côsi 106. Kinh nghiệm nhân nghịch hòn đảo 15 7.Kĩ thuật Côsi ngược vệt 16 III những bài tập chọn lọc 18I.Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức CôsiBất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) được đơn vị toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy đưa ra, nó bao gồm dạng sau:Dạng tổng quát: đến a1,a2,an là các số không âm thì: Đẳng thức xẩy ra khi a1 = a2 = = anChúng ta thường thực hiện cho bộ hai số hoặc bộ cha số, rõ ràng là:Với 2 số:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 Đẳng thức xẩy ra khi a = bHệ quả1:Hai số dương gồm tổng ko đổi,tích của chúng lớn nhất khi 2 số bằngnhau.Hệ quả2:Hai số dương gồm tích ko đổi,tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số bằngnhauVới 3 số:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ;c ≥ 0 ta luôn cóĐẳng thức xảy ra khi a = b = c Khi thực hiện BĐT Côsi ta phải chăm chú điều khiếu nại để áp dụng bất đẳng thức là những số a, b, c là rất nhiều số không âm. Một điều rất quan trọng là phải nhấn mạnh vấn đề cho học sinh là dấu bằng xảy ra khi nào, điều ấy rất quan trọng để sử dụng kĩ thuật cân đối tổng và cân bằng tích sau này.Để cho các em học viên dễ nhớ những thầy cô nhấn mạnh và ra mắt thế như thế nào là trung bình cùng và vừa đủ nhân, do vậy ta thấy những bất đẳng thức Côsi đều phải sở hữu dạng bình thường là trung bình cộng to hơn trung bình nhân.II.Các kĩ thuật chủ yếu 1. áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi. Mục đích chính của lớp bài tập này là giúp học viên làm quen và gồm hứng thú trước tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi.Bài tập 1. Chứng tỏ rằng (1)Phân tích: Ta đã minh chứng được bài tập này bởi phương pháp biến đổi tương đương, sau đây là một biện pháp làm khác:Giải: vì chưng a>0 với b>0 buộc phải vì vậy vận dụng bất đẳng thức Côsi ta có: vết bằng xẩy ra khi các bài tập mà những thầy thầy giáo cho học viên vận dụng tương tự có thể là:Tiếp tục trở nên tân tiến áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Bài tập 2: chứng tỏ rằng: (2)Phân tích: có nhiều cách giải bài tập trên:Cách 1: là nhân ra sống vế trái kế tiếp áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a/b cùng b/a. Phương pháp 2: Qui đồng rồi đem đến (a+b)2 ≥ 4ab, khai căn để trở về bất đẳng thức Côsi v.v...Tuy nhiên các phép đổi khác đó là nhiều năm ta hoàn toàn có thể làm như sau:Giải: vày a > 0, b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Dấu bằng xảy ra khi a = b.Các bài xích tập tương tự hoàn toàn có thể dùng nhằm củng cố1) (3) 2) i) (4)ii) (5) iii) (6)iv) (7)v) vi) lúc này ta nên chăm chú cho học viên là: từ những bất đẳng thức trên bằng các phép biến hóa tương đương ta rất có thể suy ra một số bất đẳng thức phụ tương đối hữu ích: (2a) (2b) (2c) (2d)(3a)Mà nó rất có thể áp dụng nhằm giải một vài bài xích tập khó rất đơn giản: 1)Với a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0 CMR: (Đại học tập Bách khoa) (8) 2) ĐHKHTN - 2000: cho x, y, z > 0 với . Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức: (9)Giải: Vậy giá bán trị nhỏ dại nhất của A là 3/2.2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng.Đây là 1 kĩ thuật phổ biến khi sử dụng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và dễ dàng và công dụng khi cần sử dụng và tạo không hề ít hứng thú đến học sinh.Bài tập 3: chứng minh thì (9)Phân tích: Nếu vận dụng ngay bất đẳng thức Côsi đến 3 số hạng ta thấy khó có thể làm tức thì được, vì vậy ta đề nghị linh hoạt vận dụng cho từng cỗ hai số.Giải: vì a > 0, b > 0, c > 0 nên vận dụng bất đẳng thức Côsi cho những cặp:đpcmDấu bằng xẩy ra khi a = b = c. Bài tập 4: Cho tía số không âm a,b,c. Triệu chứng minh: .Giải: Theo Bất đẳng thức Cosi ta có: ;Tương trường đoản cú ta cũng có: cùng vế cùng với vế của những bất đẳng thức bên trên ta suy ra điều nên chứng minh. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c.Ta thấy rằng cách thức này vận dụng có tác dụng rất xuất sắc cho một lớp các bài tập sau:1)2) 3) 4) .Ngoài ra để tránh nhàm chán những thầy cô gồm thể bổ sung cập nhật thêm một loạt những bài tập khác ở tại mức độ nặng nề hơn:1) minh chứng rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)2) minh chứng rằng : ( khối D-2004)3) nếu như x, y z là những số dương vừa lòng xyz = 1 thì 4) : 3. Phương thức cân bằng tổng phương thức này bắt đầu từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, có nghĩa là khi “ trường hợp hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng bé dại nhất khi và chỉ còn khi chúng bằng nhau”. Mở rộng một cách thoải mái và tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S1 + S2+ ... + Sn m , ta thay đổi S = A1+A2+...+An là những số không âm mà bao gồm tích A1A2...An = C không đổi, sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi.Bài tập 5:Ví dụ: Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của f(x) = x + lúc x > 1Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến hai số x - 1 > 0 với > 0 ta có . Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ tuổi nhất là 3 khi x = 2.Bài tập 6. Chứng minh rằng nếu như x > -1 thì Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy không ra kết quả, nhưng mà nếu bóc tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều buộc phải chứng minh.Bài tập 7. Chứng minh rằng nếu như x ≥ 0 thì .Phân tích: biến đổi vế trái thành một tổng của những số hạng tất cả tích không đổi, vày vậy đề xuất phân tích x thành 3 số hạng là (x+3)/3Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương . Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương gồm cha số và ta có điều nên chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi x=0Bài tập 8 đến . Hội chứng minh: .Giải: Phân tích: biến hóa vế trái thành một tổng của những số hạng gồm tích ko đổi, do vậy phải phân tích 2x thành 3 số hạng là (4x-4y);(2y+3);(2y+3) và thêm sút 6Ta có: Từ đó suy ra đpcm. Lốt bằng xảy ra khi: .Để luyện tập ta rất có thể cho những em vận dụng những bài tương tự như sau:1) Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức p = cùng với x > 02) chứng tỏ rằng ví như nếu x > - 3 thì 3) chứng tỏ rằng ví như a > b > 0 thì a + 4) Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: phía dẫn: từ bỏ biểu thức ta có y = do thế Q = 5) Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức R = cùng với a > 0, b > 0Hd: R = tiếp đến dùng bất đẳng thức Côsi. Những thầy cô cố gắng đặt cho học sinh cho học sinh thắc mắc là vì sao lại có tác dụng như vậy?6) chứng tỏ rằng 4. Cách thức cân bằng tích.Từ một hệ quả đặc biệt trong sách giáo khoa: “ nếu hai số dương bao gồm tổng không thay đổi thì tích của chúng lớn nhất lúc và chỉ lúc chúng bởi nhau”.Mở rộng ta có: để minh chứng một biểu thức có dạng P= P1P2...Pn M ta phân tích p = B1B2...Bn là những số không âm cơ mà tổng B1 + B2+ ... + Bn = C là một số trong những không đổi.Bài tập 9. Mang đến a > 0, b > 0 và a + b = 1 chứng minh rằng ab2 ≤ .Phân tích: ta cần bóc tách biểu thức ab2 thành một tích có tổng không đổi cơ mà tổng đó chắc chắn rằng phải tương quan đến a + b = 1.Giải: ab2 = mà theo bất đẳng thức Côsi đến 3 số dương là a, b/2,b/2 ta có: đpcm.Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3.Bài tập 10: cho hai số thực không âm x,y thoả mãn điều kiện . Kiếm tìm GTLN của biểu thức: .Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: . ( do ).Vậy lúc .Các bài xích tập tương tự như mà các thầy cô hoàn toàn có thể vận dụng cho học sinh là:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1) y = 4x3 - 3x2 cùng với 0 ≤ x ≤ 4/32) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) cùng với 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 43) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 ≤ x ≤ 44) y = x (1 - x2) cùng với 0 ≤ x ≤ 15) y = 5. Cách thức thêm hạng tử và chọn điểm rơi CôsiĐây là phương pháp rất lôi kéo học sinh, bằng phương pháp thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!Bài tập 11. Minh chứng thì Phân tích: trước nhất ta nhận biết nếu vận dụng ngay bất đẳng thức Cô yêu thích thì cũng ko ra được kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết và xử lý được. Bây chừ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận ra đó là khi a = b = c khi đó a2/b =a vì vậy ta thêm b vào bộ phận đại diện a2/b để có minh chứng sau:Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho những số dương thì ta có:Tuy nhiên thắc mắc đặt ra là tại sao lại thêm hạng tử b mang đến a2/b? giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m. Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2/b + m ≤2. Vậy m rất cần được chọn sao cho:1. Hoàn toàn có thể triệt tiêu được b, tuyệt là mất mẫu mã số bởi vì vế trái của bđt không tồn tại mẫu2. Khi lốt bằng xảy ra thì a2/b = m = a = b = c.Rõ ràng m chỉ hoàn toàn có thể bằng b được thôi. Bài bác tập sau sẽ làm biệt lập hơn:Bài tập12. Minh chứng rằng thì Phân tích: Ta bắt buộc thêm cho một số trong những m thoả mãn:1. Rút gọn gàng được mẫu mã số (b+c) sau khi áp dụng bđt Côsi (+m ≥)2. Dấu bởi của bất đẳng thức Côsi xẩy ra được nghĩa là = m cùng a= b = csuy ra với để tính ỏ thì . Hay thấy khi vậy a=b=c thì ỏ =4.Chứng minh: vận dụng bất đẳng thức Cô si cho những số dương thì ta có:Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.Tuy nhiên thêm hạng tử như thế nào cho phù hợp thì tùy từng bài với ví dụ cụ thể Bài tập 13: minh chứng rằng cùng với x,y,z > 0: Phân tích: ta thấy rằng cùng với hạng tử x3/ y hoàn toàn có thể có nhị hướng sau: phương pháp 1: hs đang thêm x3/y +xy ≥ 2x2 ; y3/z +zy ≥ 2y2 ; z3/x +xz ≥ 2z2; sau đó minh chứng x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, cộng các bất đẳng thức ta tất cả điều nên chứng minh.Cách 2: cùng lại ta tất cả điều buộc phải chứng minh. Bài xích tập 14: chứng tỏ rằng cùng với a, b, c>0 ta bao gồm Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ≥ 3,Cộng vế với vế suy ra điều phai chứng minh. Bài bác tập 15: CMR nếu như x, y, z là những số dương thỏa mãn xyz = 1 ta cóx3 + y3 +z3 ³ x + y + zPhân tích: dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = 1, vì vậy ta sẽ thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để áp dụng bất đẳng thức Côsi vừa lòng lí.Hướng dẫn: x3 + 1 +1 ≥ 3x; y3 + 1 +1 ≥ 3y; z3 + 1 +1 ≥ 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) ≥ 6Theo thống kê thì có khoảng 80% học sinh sẽ áp dụng cách 1 để làm. Bài bác tập 16 mang đến 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: . Giống như ta cũng cú: . Cùng cỏc vế của cỏc BĐ này lại rồi đơn giản ta sẽ tiến hành BĐT buộc phải chứng minh. Vệt bằng xảy ra khi a = b = c.Các bài bác tập sau cũng áp dụng tương tự:1) Đề QGHN 2000: đến a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c phía dẫn. Đặt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c thì x,y,z dương cùng xyz = 1.2) ĐHQGHN: mang lại a, b, c là những số dương. CMR:Hướng dẫn: tương tự cho 3) :Hướng dẫn: chứng minh bất đẳng thức phụ: 4) cùng với abc = 1 a, b, c > 0 CMR: với xyz = 1, x, y, z > 0 CMR: thì6) Tính giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức sau: với a,b,c là những số thực toại nguyện abc = 1; a, b, c> 0.7) với x,y,z > 0: 8)CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-xSau phía trên ta tham khảo hai ví dụ cực kỳ lí thú cho bài xích tập 17: trường hợp a, b, c dương và abc=1 thìPhân tích: ta sẽ thêm cho những hạng tử gì? chắc hẳn rằng là có với ỏ là một số trong những dương làm sao đó. Vụ việc ỏ bởi bao nhiêu, ta chỉ cần chăm chú là vết bằng xảy ra khi a=b=c=1; lúc đó sẽ mang đến ta ỏ =4. Bởi vì vậy ta có minh chứng sau:Điều cần chứng minh. Bài tập 18:Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của phường = với a, b là những số dương thoả mãn đk ab = 1.Hướng dẫn: dấu bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho số hạng . Để tính ỏ ta thấy đến a = b =1 thì ỏ =4. Nhưng như vậy ta thấy chỉ xuất hiện thêm vì vậy ta thêm 1/2 để được minh chứng sau:. MinP = 16. Kỹ năng thêm nghịch đảoĐây là 1 trong những kĩ thuật mà còn nếu không nhắc và áp dụng sẽ là một thiếu sót rất to lớn trong việc áp dụng và minh chứng bất đẳng thức Côsi. Bài xích tập 19: Tìm giá trị bé dại nhất của p = cùng với x, y là các số dương vừa lòng x+y=1.Giải: Ta vẫn làm bài xích tập này bởi Côsi nhưng mà ta cũng cố thể làm như sau:P = dấu bằng xảy ra khi x+y=1 và 3x2 = 2y2Khi bài bác tập 20: chứng minh bất đẳng thức Nesbit: ví như a, b, c là các số dương thì (1)HD: Thêm 3 vào nhì vế của bất đẳng thức ta lộ diện (2)Đặt:Khi kia x,y,z là các số dương với (3)áp dụng Côsi: mang lại 3 số x,y,z ta có: mang lại 3 số: ta có:Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức suy ra điều bắt buộc chứng minh.7.Kĩ thuật Co-si ngược dấu: bài xích tập 21: mang đến a,b,c là 3 số dương chấp nhận a + b + c = 3 . CMR:Phần khủng những học viên giải bài toán này như sau : Quy đồng chủng loại số, BĐT cần chứng tỏ tương đương với:. Cố gắng a + b + c = 3, ta gồm thể chứng tỏ bất đẳng thức dựa vào Côsi :.Tương từ với nhì hoán vị..tương trường đoản cú với 2 hoán vị. (Cô-si mang đến 6 số).Bất đẳng thức cuối cùng chính xác là do .Lời giải 2:Sử dụng kĩ thuật Co-si ngược dấu:BĐT cần chứng minh (do a+b+c = 3) Do giống như với 2 hoạn ta có:.Mặt khác lốt bằng xảy ra a=b=c=1Lời giải 2 trình diễn ngắn gọn và dễ hiểu hơn.Mở rộng tương tự ta có bai toán 2.Bài tập 22:Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=3.Chứng minh rằng: (1)Lời giải:Ta có: cơ mà .Tương từ bỏ với 2 thiến ta có:Cộng vế cùng với vế những bất đẳng thức đó ta đươc:Do đó vệt bằng xẩy ra khi a=b=c=1III các bài tập chọn lọcCuối thuộc tôi xin giới thiệu một lớp các bài tập xem thêm để những thày cô nâng cao kĩ năng giải bài cho các em:1.Cho x, y, z > 0 cm: 2. Mang đến a, b, c > 0 chứng minh rằng:3. Mang đến a, b, c > 0 và a + b + c = 3 CMR: 4. Cho x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức: 5. CMR a, b > 0 ta gồm . HD 6. ĐH BKHN - 2000:Cho a + b ≥ 0. Chứng minh Cho tam giác ABC. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức:6. Thi vào lớp 10 Tổng hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1. CMR 7. Chuyên TT - ĐHSP:Cho a, b, c là 3 số thực và abc = 1. CMR HD: ; tiếp đến sử dụng a3+b3≥ab(a+b)8. Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức: với a, b là số dương cùng thoả mãn a + b = 1HD: dùng bất đẳng thức Côsi 2 lần.9. Mang lại tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b. Call S là diện tích s tam giác ABC và M, N, p là những số thực làm sao để cho m + n, n + p, p. + m đều là số dương. CMR: 10.Chứng minh rằng:a) b) c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM: 11. Mang sử x, y là các số dương vừa lòng x + y = . Tìm cực hiếm của x, y để p. = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất. HD. đặt t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100 12.Cho tam giác ABC nội tiếp vào ( O; R ) có 3 góc nhọn với BC = a, AC = b, AB = c. Rước I ngẫu nhiên ở phía vào tam giác ABC, điện thoại tư vấn x, y, z là khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác.Chứng minh HD. Centimet ax + by + cz = 2S. áp dụng bất đẳng thức Bunhia 13.Cho a, b, c là các số thực dương vừa ý abc = 1 CMR: HD tách: 14. Cho a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất 15. CMR trong các số đó x, y, z là phần đa số ko âm ưng ý x + y + z = 2.Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của cùng với a, b, c dương và thoả mãn a + b + c = 3HD: Bình phương nhị vế: , tương tự.17.CMR ví như a, b, c, d > 0 thì:a) b) HD: tương tự như cho câu b. 18. 19. Cho cha số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: 20. Mang lại là các số dương cùng . Chứng minh rằng: (ĐH 2003)21. Cho là các số dương thỏa mãn nhu cầu . Chứng minh rằng:(ĐH 2005)22. Chứng tỏ rằng với tất cả x : (ĐH 2005)23. đến là những số dương thỏa mãn nhu cầu . Chứng tỏ rằng:(ĐH 2005)24. Minh chứng rằng với mọi thì (ĐH 2005)25. Cho vừa lòng . Chứng tỏ (ĐH 2005)26. Mang lại là ba số dương vừa lòng . Chứng minh rằng:(ĐH 2005)27. Cho vừa lòng . Triệu chứng minh(ĐH 2006)28. Tỡm GTNN của hàm số (ĐH 2006)29. Chỉ ra rằng hai số dương vừa lòng điều khiếu nại . Tìm GTNN của biểu thức (ĐH 2006)30.Ba số dương thỏa mãn . Minh chứng rằng: (ĐH 2001)31 giả sử với là hai số dương với . Tìm GTNN của (ĐH 2001)32. đến hai số thực thỏa mãn . Tìm kiếm GTLN của biểu thức (ĐH 2006)33. Chứng tỏ rằng giả dụ thì (ĐH 2006)III.Kết luậnTrên trên đây tôi đã đưa ra một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng việc áp dụng bất đẳng thức Côsi,kèm theo phân tích bài xích toán.Qua thực tiễn huấn luyện và đào tạo tôi thấy rằng để học sinh có kĩ năng chứng minh tốt bất đẳng thức thì trước hết người thầy phải làm cho học sinh hiểu được chiếc hay và đẹp của bất đẳng thức, đồng thời vị dạy minh chứng bất đẳng thức là nghành khó nên các thầy cô cũng nên địa thế căn cứ vào sức của học sinh để đề ra những bài xích tập phù hợp. Theo kinh nghiệm tay nghề của tôi, ứng với cha mức độ nhấn biết, tinh thông và áp dụng thì đầu tiên lúc nào cũng là những bài tập phân biệt và thông hiểu những kiến thức cơ bản, rất 1-1 giản. Sau đó dần nâng nút độ bài xích tập lên. Cũng chính vì vậy để sử dụng tài liệu này tôi đã nỗ lực lựa lựa chọn và bố trí ví dụ cho hợp lí, nhẹ nhàng, đơn giản và dễ dàng và vừa mức độ với học viên của mình.Tuy nhiên đó là một nội dung khó khăn và tởm nghiệm đào tạo và huấn luyện của tôi còn giảm bớt nên chắc chắn còn thiếu sót cùng không kiêng khỏi một vài sai lầm. Mong những thầy cô xem và đóng góp chủ kiến để siêng đề được hoàn thành xong hơn.Xin thực lòng cảm ơn các bạn đồng nghiệp.Bắc ninh tháng hai năm 2012Giáo viênLê Thị Hồng Thúy