CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

     

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Bạn đang xem: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng


*

*

*

Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d (M, ∆) = |Ax0 + By0 + C| √A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng (D): 4x + 3y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d(M, D) = |4 · 1 + 3 · 2 − 2| √42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆: 2x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến (D): 4x + 3y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1, −3) và có khoảng cách đến điểm M0(2, 4) bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −3) có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k(x − 1) ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆: 24x − 7y − 45 = 0.Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng (D) song song với (D0): 3x + 4y − 1 = 0 và cách (D0) một đoạn bằng 2. Đường thẳng (D) ∥ (D0) nên phương trình đường thẳng (D): 3x + 4y + c = 0. Lấy điểm M(−1; 1) ∈ (D0), theo đề ta có: d(D, D0) = d(M, D) = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c|5 = 2 ⇔ |c + 1| = 10 ⇔ c = 9, c = −11. Với c = 9 ta có D : 3x + 4y + 9 = 0. Với c = −11 ta có D : 3x + 4y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A(−1, 2) và hai đường (∆): x − y − 1 = 0,(∆0): x + 2y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng (∆) một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (∆0) bằng AM.

Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M(1, 1) một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 (2, 3) một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆: Ax + By + C = 0. Theo đề ta có: d(M, ∆) = 2 ⇔ |A + B + C| √A2 + B2 = 2 ⇔ |A + B + C| = 2√A2 + B2. Từ (1) và (2) ta có |2A + 3B + C| = 2|A + B + C| ⇔ 2A + 3B + C = 2(A + B + C), 2A + 3B + C = −2(A + B + C) ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và (1) ta được |A + 2B| = 2√A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆1: y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆0 = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu.


Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M(x_M;y_M)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M(x_M;y_M)$ đến đường thẳng $\Delta$ được xác định bởi công thức:

$d(M,\Delta)=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$.


*

Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ thì chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố:

Tọa độ điểm MPhương trình của đường thẳng $\Delta$

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$

a. Tính khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta$

b. Tính khoảng cách từ điểm $A(2;4)$ đến đường thẳng $a$

Hướng dẫn:

a. Khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M,\Delta)=\dfrac{|2.2+3.1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}$

=> $d(M,\Delta)=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$

=> $d(M,\Delta)=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$

b. Khoảng cách từ điểm $A(2;4)$ đến đường thẳng $a$ là:

$d(M,a)=\dfrac{|4.2+3.4-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}$

=> $d(M,a)=\dfrac{15}{\sqrt{4^2+3^2}}$


=> $d(M,a)=\dfrac{15}{5}=3$

Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A(1;2)$; $B(2;3)$; $C(-1;2)$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Hướng dẫn:

Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC.


*

Ta có: $\vec{BC}=(-3;-1)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\vec{n}_{BC}=(1;-3)$

Đường thẳng BC đi qua điểm $B(2;3)$ có phương trình là:

$1.(x-2)-3(y-3)=0$ $x-3y+7=0$

Khoảng cách từ điểm $A(1;2)$ đến đường thẳng BC là:

$d(A,BC)=\dfrac{|1-3.2+7|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}$

=> $d(A,BC)=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$

=> $d(A,BC)=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng: $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.

Hướng dẫn:

Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm $M$ là: $M(x_M;-x_M+3)$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là:

$d(M,b)=\dfrac{|3x_M-4(x_M+3)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$

=> $ d(M,b) = \dfrac{|-x_M-7|}{5}$

=> $ d(M,b) = \dfrac{|x_M+7|}{5}$

Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có:

$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$


$|x_M+7|=15$

$x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$

$x_M=8$ hoặc $x_M=-19$

Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $M_1(8;-5)$ và $M_2(-22;-19)$


Hình minh họa

Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.

a. Tính khoảng cách từ điểm $A(2;-3)$ tới đường thẳng a

b. Tính khoảng cách từ điểm $B(-4;3)$ tới đường thẳng b

Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh làA(4;2)và phương trình một đường chéo là$x+2y+2=0$

Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2

Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I(2, –3) và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ


Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:

Cho điểm M( xM; yN) và điểm N( xN; yN) . Khoảng cách hai điểm này là:

Chú ý:Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường

2. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( xN; yN; zN). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?

Phương pháp


Ví dụ 1:

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

Ví dụ 2:Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1: 4x - 3y + 5 = 0 và d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Tính diện tích của hình chữ nhật.

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

Ví dụ 3.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải

Ví dụ 4.

Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Lời giải

Ví dụ 5.Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0.

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Tham khảo các bài học khác


Cách sử dụng máy giặt Electrolux EWF9024ADSA

Công nghệ AutoSense tự động điều chỉnh thời gian, lượng nước và mức năng lượng tiêu thụ phù hợp theo tải trọng giặt, tránh giặt quá mức, giảm thiểu ...


Cách tính tuổi phôi thai

Bác sĩ sẽ dùng kết hợp cả 4 phương pháp để tính gồm: phương pháp tính ngày kinh cuối cùng, khám sức khỏe, siêu âm và đo bề cao tử cung. Mặc dù thời gian ...


Cách tải lol về máy tính

Liên Minh Huyền Thoại (LoL) là một trong những tựa game online PC vô cùng phổ biến tại Việt Nam hiện nay. Đây là một trong những tựa game MOBA PC hay nhất được ...

Xem thêm: "" Ngày Anh Đi Để Mình Em Đứng Đó Anh Có Hay Lòng Em Mãi Thương Anh


10 cách xử lý khi gặp ma

Bệnh ᴠiện là nơi tập trung rất nhiều âm khí, có những khoa thường хuуên bị ma trêu. Vậу trong khi giành giật ᴠới tử thần để kéo bệnh nhân trở lại ...


Cai sữa bằng mẹo ở gia Lộc Hải Dương

Lê Hạnh các mẹ cho mình xin kinh nghiệm cai ti cho bé đi ạ Ủng hộ chúng tôi bằng cách chia sẻ trang web này :) Thời điểm cai sữa cho bé? Không có thời ...


Sách Bí quyết xây dựng cơ nghiệp bạc tỷ PDF

Thông tin ebookTác giả: Adam KhooTác phẩm: Bí quyết gây dựng cơ nghiệp bạc tỷThể loại: Kinh doanh, đầu tưNhà xuất bản Phụ Nữ Ebook Xây Dựng Cơ Nghiệp ...


Cách kiểm tra xem máy tính đang dùng win gì

Hệ điều hành của máy tính (Windows) là một thông tin quan trọng để bạn có thể sử dụng máy tính của mình một cách hiệu quả nhất. Chính vì thế, bài viết ...


Trong thí nghiệm về giao thoa ánh sáng khoảng cách giữa hai khe là

Trong thí nghiệm về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa 2 khe hẹp là 1mm, từ mặt phẳng chứa 2 khe đến màn ảnh là 1 m. Dùng ánh sáng đỏ có bước sóng λ = 0,75 ...


Hướng dẫn sử dụng trợ lý ảo bixby

Bixby là gì? Cách sử dụng Bixby Mục Lục bài viết:1. Bixby là gì?.2. Hướng dẫn sử dụng Bixby.3. Thiết bị nào được trang bị Bixby?.1. Bixby là gì?Bixby là ...


Cách lắp chuột vào máy tính

Đây là bài viết hướng dẫn bạn cách để kết nối chuột không dây với máy tính. Chuột không dây có hai loại là Bluetooth - kết nối trực tiếp với máy tính ...


Cách nói chuyện thuyết phục nhân viên

Cách giao tiếp với cấp trên thông minh, khôn khéo nhất. Nếu là người có sáng kiến, làm tốt công việc được giao, bạn sẽ được đánh giá là nhân viên hoàn ...


Cách đặt ly nước trên bàn thờ

Văn hoá thờ cúng tổ tiên được người Việt truyền từ đời này qua đời khác. Với ý niệm âm sao dương vậy, nên việc có sự Open của chén nước ( kỷ ...


Cách xóa lịch sử máy tính nhanh nhất

Cách xóa lịch sử trên máy tính dùng trình duyệt Google Chrome, Firefox và Internet Explorer Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách xoá lịch sử trên máy tính ...


Cách làm thạch rau câu màu đỏ

Không cần dùng đến phẩm màu thực phẩm, bạn vẫn có thể tạo ra được rau câu nhiều màu và hương thơm tự nhiên từ các loại rau củ quả. Bằng những ...


Cách sơ chế thịt nai

Thịt nai làm món gì ngon nhất? Các món ngon từ nai gồm những gì? META mời bạn tham khảo bài viết dưới đây của chúng tôi để nắm rõ hơn nhé! Thịt nai ...


Cách chỉnh độ sáng màn hình máy tính laptop

Giảm độ sáng màn hình máy tính, laptop là một trong những cách tốt nhất để tránh mỏi mắt. Bạn có thể xem hướng dẫn chỉnh độ sáng màn hình máy tính, ...


Hướng dẫn cách làm dấm táo mèo

Giấm táo mèo được xem là một loại chế phẩm tốt cho sức khỏe và mang đến hiệu quả làm đẹp nhất là nữ giới. Để được hướng dẫn cách làm giấm ...


Tư the ngủ đoán tính cách

Bạn bộc lộ gì về tính cách qua tư thế ngủ? Bạn có biết, những tư thế ngộ nghĩnh của chúng ta khi ngủ cũng bộc lộ đôi nét tính cách bản thân? Cùng ...


Cách reset lại wifi Viettel

Khi thiết bị wifi chập chờn, vào mạng chậm hoặc thậm chí bị rớt mạng khi đó người dùng phải tiến hành Reset wifi để thiết bị hoạt động ổn định ...

Xem thêm: Sách Giáo Khoa Tiếng Việt Lớp 3 Tập 2, Tiếng Việt Lớp 3 Tập 2


Cách sử dụng set Innisfree lựu đỏ

Trang chủ Bộ dưỡng trắng da BỘ DƯỠNG INNISFREE LỰU ĐỎ 4IN1 – CHỐNG LÃO HÓA Giảm giá! Xuất xứ: Hàn Quốc Hãng sản xuất: Innisfree Quy cách: ...

kimsa88
cf68