DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT

     

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Để tính được tổng hàng số lũy thừa tất cả quy luật thì cần phải có phương pháp giải. Đó là các phương pháp:

1. Phương pháp quy nạp

*
*

2. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng hàng số

*
*

CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA

Với những dạng toán dưới đây, những em sử dụng phương pháp tính nêu ở trên để áp dụng vào giải.

Bạn đang xem: Dãy số có quy luật

1. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100(*)

Hướng dẫn:

Cách 1:Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100– 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101– 1

Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101(**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100)

⇔ S = 2101– 1.

Tổng quát mang lại dạng toán này như sau:

$S_n=1+a+a^2+ldots+a^n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: $S_n=dfraca^n+1-1a-1$

Ví dụ 2:Tính:

S =1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100

Hướng dẫn:

Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22– 23 + 24–. . . – 299 + 2100)

⇔2S = 2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101

⇔2S S = (2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S =2101 + 1.

⇔ $S=dfrac2^101+13$

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1-a+a^2-a^3+ldots-a^2 n-1+a^2 n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: $S_n=fraca^2 n+1+1a+1$

Ví dụ 3:Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100(*)

Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêulà nhân 2 vế của S với một số làm sao đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp bí quyết nhau 2 đơn vị đề xuất ta nhân hai vế với 32rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

Xem thêm: Nhà Nguyễn Thành Lập Lịch Sử Lớp 4, Nhà Nguyễn Thành Lập

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) mang lại (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102– 1

⇔ $S=dfrac3^102-18$

• Tổng quát đến dạng toán này như sau:

$S_n=1+a^d+a^2 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi TRỪ vế với vế ta được:

$S_n=dfraca^(n+1) d-1a^d-1$

Ví dụ 4:Tính:

S = 1 – 23 + 26– 29 . . . +296– 299(*)

Hướng dẫn:

– Lũy thừa những số liên tiếp phương pháp nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23ta được:

23.S = 23.(1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299)

⇒ 8S = 23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102(**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102) (1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 ⇔ $S=dfrac1-2^1029$

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1-a^d+a^2 d-a^3 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

$S_n=dfrac1-a^(n+1) da^d+1$

2. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng những số hạng của hàng số cách đều

Để đếm được số hạng của 1 hàng số nhưng 2 số hạng liên tiếp giải pháp đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Số số hạng = <(số cuối – số đầu) : (khoảng cách)> + 1

Để tính Tổng những số hạng của một dãy mà lại 2 số hạng liên tiếp giải pháp đều nhau 1 số đơn vị ta sử dụng công thức:

Tổng = <(số đầu + số cuối) . (số số hạng)> : 2

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(39+1)>:2 = 10.40 = 400.

Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (59-2):3+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(59+2)>:2 = 10.61 = 610.

Xem thêm: Kết Bài Có Mấy Cách Và Viết Thế Nào Khi Viết Đoạn Kết Cần Chú Ý Gì

3. Dạng toán tổng hợp vận dụng những tổng đã biết

Ký hiệu: $sum_i=1^n a_i=a_1+a_2+ldots+a_n$

Tính chất:

$sum_i=1^nleft(a_i+b_i ight)=sum_i=1^n a_i+sum_i=1^n b_i$

$sum_i=1^n a cdot a_i=a sum_i=1^n a_i$

Ví dụ:Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

Hướng dẫn:

Ta có: $S_n=sum_i=1^n i(i+1)=sum_i=1^nleft(i^2+i ight)=sum_i=1^n i^2+sum_i=1^n i$

Mặt khác, lại có:

$sum_i=1^n i=1+2+3+ldots+n=fracn(n+1)2$(theo PP quy nạp ở mục I).

$sum_i=1^n i^2=dfracn(n+1)(n+2)6$ (theo PP quy nạp ở mục I)

⇒ $S_n=dfracn(n+2)2+dfracn(n+1)(n+2)6=dfracn(n+1)(n+2)3$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài 2:Tính những tổng sau:

a)S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … + 95 +101

c)$S=dfrac11cdot 2+dfrac123+dfrac13cdot 4 ldots+dfrac149cdot 50$

d)$S=dfrac65cdot 7+dfrac679+dfrac69cdot 11+ldots+dfrac657cdot 59$

Bài 3:Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … + (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b)$dfrac12+dfrac14+dfrac18+ldots+dfrac12^0=1-dfrac120$