TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÀ GÌ? CÔNG THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

     

Bài viết phía dẫn các bước tính tích phân bằng cách thức tích phân từng phần, đồng thời nêu ra một số trong những dạng toán thường chạm mặt và kinh nghiệm tay nghề đặt đổi thay số tương thích khi tiến hành tích phân từng phần.

Bạn đang xem: Tích phân từng phần là gì? công thức và cách giải các dạng bài tập

Phương pháp tích phân từng phần:Nếu $u(x)$ cùng $v(x)$ là những hàm số gồm đạo hàm liên tục trên $left< a;b ight>$ thì:$intlimits_a^b u(x)v"(x)dx $ $ = left( u(x)v(x) ight)left| eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b v(x)u"(x)dx .$Hay: $intlimits_a^b udv = uvleft .$

Áp dụng phương pháp trên ta có quy tắc tính $intlimits_a^b f(x)dx $ bằng phương pháp tích phân từng phần như sau:+ Bước 1: Viết $f(x)dx$ bên dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng phương pháp chọn một phần thích hợp của $f(x)$ làm cho $u(x)$ và phần còn lại $dv = v"(x)dx.$+ Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = int dv = int v"(x)dx .$+ Bước 3: Tính $intlimits_a^b vdu = intlimits_a^b vu’dx $ và $uvleft| eginarraylb\aendarray ight. .$+ Bước 4: Áp dụng công thức $intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^b eginarraylb\aendarray ight. – intlimits_a^b vdu .$

Cách đặt $u$ cùng $dv$ trong phương thức tích phân từng phầnĐiều đặc biệt quan trọng khi áp dụng công thức tích phân từng phần là làm cầm cố nào để lựa chọn $u$ và $dv = v’dx$ thích thích hợp trong biểu thức dưới dấu vết phân $f(x)dx$. Nói chung nên chọn lựa $u$ là phần của $f(x)$ mà lại khi rước đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv = v’dx$ là phần của $f(x)dx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ dàng tìm.

Xem thêm: Sinh Học 6 Bài 13: Cấu Tạo Ngoài Của Thân, Bài 13: Cấu Tạo Ngoài Của Thân

*

+ nếu như tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là đa thức đựng $x$ cùng $Q(x)$ là một trong đa số hàm số: $e^ax$, $sin ax$, $cos ax$ thì ta hay đặt:$left{ eginarraylu = P(x)\dv = Q(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = P"(x)dx\v = int Q(x)dxendarray ight. $+ Nếu tính tích phân $intlimits_alpha ^eta P(x)Q(x)dx $ mà $P(x)$ là đa thức của $x$ và $Q(x)$ là hàm số $ln(ax)$ thì ta đặt: $left{ eginarraylu = Q(x)\dv = P(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = Q’left( x ight)dx\v = int P(x)dxendarray ight. $+ trường hợp tính tích phân $J = intlimits_alpha ^eta e^axsin bxdx $ thì ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = sin bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = – frac1bcos bxendarray ight. $Tương tự với tích phân $I = intlimits_alpha ^eta e^axcos bxdx $, ta đặt $left{ eginarraylu = e^ax\dv = cos bxdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = ae^axdx\v = frac1bsin bxendarray ight. $Trong trường phù hợp này, ta cần tính tích phân từng phần hai lần tiếp nối trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra công dụng tích phân bắt buộc tính.

Xem thêm: Bộ 84 Đề Thi Học Kì 2 Lớp 1 Môn Toán Lớp 1 Sách Cánh Diều, 30 Đề Thi Kì 2 Lớp 1 Môn Toán

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:a. $intlimits_1^2 fracln xx^5dx .$b. $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx .$c. $intlimits_0^1 xe^xdx .$d. $intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = ln x\dv = frac1x^5dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = – frac14x^4endarray ight.$Do đó: $intlimits_1^2 fracln xx^5dx $ $ = left. – fracln x4x^4 ight|_1^2 + frac14intlimits_1^2 fracdxx^5 $ $ = – fracln 264 + left. frac14left( – frac14x^4 ight) ight|_1^2$ $ = frac15 – 4ln 2256.$b. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = sin xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^fracpi 2 xcos xdx $ $ = left( xsin x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 sin xdx $ $ = fracpi 2 + cos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. = fracpi 2 – 1.$c. Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = e^xendarray ight.$Do đó: $intlimits_0^1 xe^xdx $ $ = xe^xleft| eginarrayl1\0endarray ight. – intlimits_0^1 e^xdx $ $ = e – e^xleft| eginarrayl1\0endarray ight.$ $ = e – left( e – 1 ight) = 1.$d. Đặt $left{ eginarraylu = e^x\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = e^xdx\v = sin xendarray ight.$ $ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^xsin xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xsin xdx .$Đặt $left{ eginarraylu_1 = e^x\dv_1 = sin xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu_1 = e^xdx\v_1 = – cos xendarray ight.$$ Rightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 + e^xcos xleft| eginarraylfracpi 2\0endarray ight. – intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $$ Leftrightarrow 2intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx $ $ = e^fracpi 2 – 1$ $ Leftrightarrow intlimits_0^fracpi 2 e^xcos xdx = frace^fracpi 2 – 12.$

Ví dụ 2: Tính những tích phân sau:a. $I = intlimits_1^3 frac3 + ln x(x + 1)^2dx .$b. $J = intlimits_ – 1^0 (2x^2 + x + 1)ln (x + 2)dx .$

a. Đặt $left{ eginarraylu = 3 + ln x\dv = fracdx(x + 1)^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = frac – 1x + 1endarray ight.$$I = – left. frac3 + ln xx + 1 m ight|_1^3 + intlimits_1^3 fracdxx(x + 1) $ $ = – frac3 + ln 34 + frac32 + left. ight|_1^3$ $ = frac3 – ln 34 + ln frac32.$b. Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 2)\dv = (2x^2 + x + 1)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayldu = frac1x + 2dx\v = frac23x^3 + frac12x^2 + xendarray ight.$$J = (frac23x^3 + frac12x^2 + x)ln (x + 2)left| _ – 1^0 ight.$ $ – frac16intlimits_ – 1^0 frac4x^3 + 3x^2 + 6xx + 2dx $$ = – frac16intlimits_ – 1^0 (4x^2 – 5x + 16 – frac32x + 2)dx $ $ = – frac16left. left< frac43x^3 – frac52x^2 + 16x – 32ln (x + 2) ight> ight|_ – 1^0$$ = frac163ln 2 – frac11936.$

Ví dụ 3: Tính tích phân sau: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx .$

Đặt $left{ eginarraylu = ln (x + 1)\dv = xdxendarray ight.$ ta có $left{ eginarrayldu = frac1x + 1dx\v = fracx^2 – 12endarray ight.$Suy ra: $I = intlimits_0^e – 1 xln (x + 1)dx $ $ = left. left< ln (x + 1)fracx^2 – 12 ight> ight|_0^e – 1$ $ – frac12intlimits_0^e – 1 (x – 1)dx $ $ = frace^2 – 2e2 – frac12left( fracx^22 – x ight)left| _0^e – 1 ight.$ $ = frace^2 – 34.$Chú ý: Trong ví dụ này, ta chọn $v = fracx^2 – 12$ thay do $v = fracx^22$ để câu hỏi tính tích phân $intlimits_0^e – 1 vdu $ thuận lợi hơn, như vậy chúng ta đọc rất có thể chọn $v$ một cách khéo léo để lời giải được ngắn gọn.