Rút Gọn Biểu Thức Lượng Giác Lớp 10

     

Bài trước đang học công thức lượng giác, bài xích này để giúp đỡ bạn áp dụng công thức một cách linh hoạt để biến hóa biểu thức lượng giác trải qua các ví du. Tự đó nhằm mục tiêu triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không quan trọng và đem đến giá trị lượng giác đặc biệt.

Thí dụ 1. Rút gọn gàng biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx - cosx - 8cosx.cos$^3$3x.

Bạn đang xem: Rút gọn biểu thức lượng giác lớp 10


Biến đổi biểu thức về dạng:A = cos10x + 1 + cos8x - cosx - 2(4cos$^3$3x - 3cos3x)cosx= 2cos9x.cosx + 1 - cosx - 2cos9x.cosx = 1 - cosx.Nhận xét:
Như vậy, nhằm rút gọn các biểu thức trên chúng ta sử dụng phương pháp hạ bậc dựa trên ý tưởng phát minh chủ đạo là thay đổi nó về dạng tổng.Thí dụ 2. Rút gọn các biểu thức:a. A = $frac1 - cos ^2left( fracpi 2 + alpha ight)1 - sin ^2left( fracpi 2 - alpha ight)$ - cot($fracpi 2$ - α).tan(α - $fracpi 2$).b. B = $fracsin ^42x + cos ^42x an (fracpi 4 - x). an (fracpi 4 + x)$.
a. Biến đổi A về dạng:A = $frac1 - sin ^2alpha 1 - cos ^2alpha $ + tanα.cotα = $fraccos ^2alpha sin ^2alpha $ + 1 = $fraccos ^2alpha + sin ^2alpha sin ^2alpha $ = $frac1sin ^2alpha $.b. đổi khác B về dạng:B = $frac(sin ^22x + cos ^22x)^2 - 2sin ^22x.cos ^22x an (fracpi 4 - x).cot (fracpi 4 - x)>$ = 1 - $frac12$sin24x.Nhận xét: Như vậy, nhằm rút gọn những biểu thức trên họ chỉ việc thực hiện mối liên hệ giữa những góc sệt biệt.Thí dụ 3.
Rút gọn biểu thức: A = $fracsin x + sin 3x + sin 5xcos x + cos 3x + cos 5x$.
Ta lần lượt có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1)cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x - 1). (2)Từ (1) cùng (2) suy ra: A = $fracsin 3xcos 3x$ = tan3x.Nhận xét:
Đương nhiên, bạn có thể trình bày theo kiểu đổi khác đồng thời TS với MS. Cách trình diễn như trên tất cả tính minh hoạ để những em học sinh lấy nó vận dụng cho phần lớn biểu thức nhưng độ phức tạp trong những phép chuyển đổi cho TS với MS khác nhau.Thí dụ 4. Rút gọn những biểu thức:a. A = $left( frac1cos 2x + 1 ight)$.tanx. B. B = cos8x.cot4x - $fraccot ^22x - 12cot 2x$.
a. Ta đổi thay đổi: A = $frac1 + cos 2xcos 2x$.tanx = $frac2cos ^2xcos 2x$.$fracsin xcos x$= $frac2cos x.sin xcos 2x$ = $fracsin 2xcos 2x$ = tan2x.b. Ta đổi thay đổi: B = cos8x.cot4x - $fraccos ^22x - sin ^22x2cos 2x.sin 2x$= cos8x. $fraccos 4xsin 4x$ - $fraccos 4xsin 4x$= (cos8x - 1) $fraccos 4xsin 4x$ = -2sin24x.$fraccos 4xsin 4x$ = -2 sin4x.cos4x = -sin8x.Nhận xét:
Như vậy, nhằm rút gọn các biểu thức tất cả hổn hợp chứa sin, cos cùng tan, cot như trên bọn họ thường đổi khác tan, cot theo sin, cos.Thí dụ 5. Rút gọn các biểu thức:a. A = sin$^2$a + sin$^2$2a + ... + sin$^2$na.b. B = $frac1sin a.sin 2a$ + $frac1sin 2a.sin 3a$ + ... + $frac1sin na.sin (n + 1)a$.
a. Ta chuyển đổi biểu thức về dạng:A = $frac12$(1 - cos2a) + $frac12$(1 - cos4a) + ... + $frac12$(1 - cos2na)= $fracn2$ - $frac12$(cos2a + cos4a + ... + cos2na).Xét nhị trường hợp
:Trường phù hợp 1: giả dụ a = kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì: cos2a = cos4a = ... = cos2na = 1 ⇒ D = 0.Trường thích hợp 2: giả dụ a ≠ kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì ta tính được tổng: T = cos2a + cos4a + ... + cos2na = $fraccos (n + 1)a.sin nasin a$Từ đó, suy ra: A = $fracn2$ - $fraccos (n + 1)a.sin na2sin a$.b. Nhân cả nhị vế của biểu thức cùng với sina, ta được:B.sina = $fracsin asin a.sin 2a$ + $fracsin asin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin asin na.sin (n + 1)a$= $fracsin (2a - a)sin a.sin 2a$ + $fracsin (3a - 2a)sin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin <(n + 1)a - na>sin na.sin (n + 1)a$= cota - cot2a + cot2a - cot3a + … + cotna - cot(n + 1)a= cota - cot(n + 1)a = $fracsin nasin a.sin (n + 1)a$⇔ B = $fracsin nasin ^2a.sin (n + 1)a$.Thí dụ 6.

Xem thêm: Tóm Tắt Anime:" Cháu Trai Của Nhà Thông Thái Tập 1, Cháu Trai Của Hiền Nhân

Rút gọn gàng biểu thức A = $frac1sin a$ + $frac1sin 2a$ + ... + $frac1sin 2^na$.
Ta có: $frac1sin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^ka - cos 2^kasin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^kasin 2^ka$ - $fraccos 2^kasin 2^ka$= $frac2cos ^22^k - 1a2sin 2^k - 1a.cos 2^k - 1a$ - cot$^2k$a = cot2$^k-1$a - cot2$^k$a.Suy ra: A = cot$fraca2$ - cota + cota - cot2a + ... + cot$^2n-1$a - cot$^2n$a = cot$fraca2$ - cot2$^n$a.Thí dụ 7.
Rút gọn gàng biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tan(n - 1)a.tanna.
Ta có: tana = tan<(k + 1) - k>a = $frac an (k + 1)a - an ka1 + an (k + 1)a. an ka$⇔ tanka.tan(k + 1)a = $frac an (k + 1)a - an ka an a$ - 1,do đó: tana.tan2a = $frac an 2a - an a an a$ - 1; tan2a.tan3a = $frac an 3a - an 2a an a$ - 1...tan(n - 1)a.tanna = $frac an mãng cầu - an (n - 1)a an a$ - 1suy ra: A = $frac an na - an a an a$ - (n - 1) = $frac an na an a$ - n.Chú ý:
hiệu quả của việc trên được thực hiện để đơn giản biểu thức: A = $frac1cos a.cos 2a$ + $frac1cos 2a.cos 3a$ + ... + $frac1cos na.cos (n + 1)a$.Thật vậy, nếu nhân cả hai vế của đẳng thức với cosa, ta được: B.cosa = $fraccos acos a.cos 2a$ + $fraccos acos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos acos na.cos (n + 1)a$= $fraccos (2a - a)cos a.cos 2a$ + $fraccos (3a - 2a)cos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos <(n + 1)a - na>cos na.cos (n + 1)a$= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + ... + 1 + tanna.tan(n + 1)a= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tanna.tan(n + 1)a= n + $frac an (n + 1)a an a$ - n - 1 = $frac an (n + 1)a an a$ - 1.Tuy nhiên, có thể sử dụng sina để dấn được giải thuật độc lập.Thí dụ 8. Rút gọn biểu thức A = tana + $frac12$tan$fraca2$ + ... + $frac12^n$tan$fraca2^n$.
Nhận xét rằng:cotx - tanx = $fraccos ^2x - sin ^2xsin x.cos x$ = $frac2cos 2xsin 2x$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx - 2cot2x.Từ đó, ta có các kết quả: tana = cota - 2cot2a, $frac12$tan$fraca2$ = $frac12$cot$fraca2$ - cota,…$frac12^n$tan$fraca2^n$ = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - $frac12^n - 1$cot$fraca2^n - 1$.Cộng theo vế những đẳng thức trên, ta được A = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - 2cot2a.Thí dụ 9.
Rút gọn biểu thức A = $fracsqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x $, cùng với - $fracpi 4$ A = $frac(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )^2(sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x )(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )$= $frac1 + sin 2x + 2sqrt 1 - sin ^22x + 1 - sin 2x1 + sin 2x - 1 + sin 2x$= $frac1 + sqrt cos ^22x sin 2x$ = $fraccos 2xsin 2x$$mathop = limits^{ - fracpi 4 Chú ý: fan ta hoàn toàn có thể sử dụng tác dụng của ví dụ như trên để tạo thành những yêu mong khá thú vị, để minh hạo ta xét đòi hỏi:“Cho t ∈ <-1; 1> và thoả mãn tanx = $fracsqrt 1 + t + sqrt 1 - t sqrt 1 + t - sqrt 1 - t $. Chứng tỏ rằng t = sin2x”.Trước hết: tanx = $frac(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )^2(sqrt 1 + t - sqrt 1 - t )(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )$ = $frac1 + sqrt 1 - t^2 t$.Mặt khác: sin2x = $frac2 an x1 + an ^2x$ = $frac2.frac1 + sqrt 1 - t^2 t1 + left( frac1 + sqrt 1 - t^2 t ight)^2$ = $frac2(1 + sqrt 1 - t^2 )t2(1 + sqrt 1 - t^2 )$ = t.Chú ý: trong các bài toán thi chúng ta thường gặp mặt phải yêu cầu "Chứng minh đẳng thức lượng giác chủ quyền với đổi mới số".Thí dụ 10. minh chứng biểu thức sau không phụ thuộc vào vào x: A = cos$^2$(x - $fracpi 3$) + cos2x + cos2(x + $fracpi 3$).
Ta hoàn toàn có thể lựa chọn 1 trong nhị cách biến hóa sau:Cách 1:
Ta biến hóa đổi:A = (cosx.cos$fracpi 3$ + sinx.sin$fracpi 3$)2 + cos2x + (cosx.cos$fracpi 3$ - sinx.sin$fracpi 3$)2= ($frac12$cosx + $fracsqrt 3 2$sinx)2 + cos2x + ($frac12$cosx - $fracsqrt 3 2$sinx)2= $frac12$cos$^2$x + $frac32$sin$^2$x + cos$^2$x = $frac32$(sin$^2$x + cos$^2$x) = $frac32$.Vậy, biểu thức A không nhờ vào vào x.Cách 2: Ta thay đổi đổi:A = $frac12$<1 + cos(2x - $frac2pi 3$)> + cos2x + $frac12$<1 + cos(2x + $frac2pi 3$)>= 1 + cos2x + $frac12$= 1 + cos2x + cos2x.cos$frac2pi 3$ = 1 + cos2x - $frac12$(2cos2x - 1) = $frac32$.Thí dụ 11. xác minh a ∈ (0; $fracpi 2$) nhằm biểu thức sau không nhờ vào vào x: A = cosx + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) + cos(x + 6a).

Xem thêm: Từ Vựng Unit 4 Lớp 5 Did You Go To The Party? Tiếng Anh Lớp 5 Unit 4 Lesson 1 Trang 24


Ta vươn lên là đổi:A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) = 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a).Để biểu thức không phụ thuộc vào vào x điều kiện là:cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π - a) = 0⇔ $left< eginarrayl3a = pi - a + 2kpi \3a = - pi + a + 2kpi endarray ight.$⇔ $left< eginarrayla = fracpi 4 + frackpi 2\a = - fracpi 2 + kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^a in (0,,fracpi 2) $ a = $fracpi 4$.Vậy, với a = $fracpi 4$ biểu thức không nhờ vào vào x.
*
phiên bản đầy đủ: những dạng toán lớp 10