TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

     

Công thức tính độ lâu năm trung đường trong tam giác & những dạng bài bác tập

Sau đây thpt Sóc Trăng sẽ chia sẻ đến chúng ta công thức tính độ dài trung con đường trong tam giác rất hay và những dạng toán mến gặp. Hãy chia sẻ để nắm chắc thêm phần kiến thức và kỹ năng Hình học 12 vô cùng đặc biệt quan trọng này các bạn nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC 


1. Đường trung đường là gì? Đường trung tuyến đường trong tam giác là gì?

Bạn đã xem: phương pháp tính độ dài trung tuyến đường trong tam giác & các dạng bài tập

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng trải qua trung điểm của đường thẳng đó


Đường trung con đường trong tam giác là một trong những đoạn thẳng nối tự đỉnh của tam giác tới những cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Bạn đang xem: Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường

2. đặc điểm của mặt đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều phải sở hữu tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

Đường trung đường trong tam giác thường tất cả 3 đặc điểm như sau:

3 con đường trung tuyến đường trong tam giác thuộc đi sang 1 điểm, đặc điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của mặt đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.Giao điểm của 3 đường trung tuyến đường được gọi là trọng tâmVị trí trọng tâm trong tam giác: trung tâm của 1 tam giác giải pháp mỗi đỉnh 1 khoảng tầm bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính hóa học đường trung đường của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là một trong trường hợp quan trọng của tam giác, trong đó, tam giác sẽ sở hữu được một góc tất cả độ phệ là 90 độ, với hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

– vày đó, mặt đường trung con đường của tam giác vuông sẽ có không thiếu những tính chất của một con đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, mặt đường trung đường ứng cùng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung đường ứng cùng với cạnh đáy thì vuông góc cùng với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài con đường trung tuyến đường của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của 1 phần hai tổng bình phương nhị cạnh kề trừ một trong những phần tư bình phương cạnh đối.


*

Trong đó: a, b ,c thứu tự là các cạnh vào tam giác

ma, mb, mc lần lượt là hầu hết đường trung tuyến trong tam giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, gồm BC = a, CA = b với AB = c. Chứng minh rằng ví như b2 + c2 = 5a2 thì nhị trung đường kẻ trường đoản cú B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Xem thêm: Sản Phẩm Trong Thị Trường Cạnh Tranh Độc Quyền Là Gì? Có Những Đặc Điểm Nào?

Lời giải:

*
bí quyết tính độ dài mặt đường trung tuyến đường (ảnh 6)" />

Gọi D với E theo lần lượt là trung điểm của AB với AC, G là giữa trung tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mb, CD = mc

Áp dụng cách làm trung đường trong tam giác ABC ta có:

*
công thức tính độ dài mặt đường trung tuyến đường (ảnh 7)" />

Vậy b2 + c2 = 5a2 thì nhì trung tuyến đường kẻ tự B cùng C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC bao gồm BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến đường của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ dài trung đường từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC thứu tự là ma; mb; mc.

Áp dụng công thức trung tuyến đường ta có:

*
phương pháp tính độ dài đường trung đường (ảnh 4)" />

Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ nhiều năm đoạn thẳng) bắt buộc nó luôn dương, vì đó:

*
bí quyết tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 5)" />

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, hai đường trung con đường BD cùng CE cắt nhau trên G. Kéo dài AG giảm BC trên H.

a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Hotline I cùng K theo thứ tự là trung điểm của GA cùng GC. Minh chứng rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

*
cách làm tính độ dài đường trung đường (ảnh 11)" />

a. Ta bao gồm BD là đường trung con đường của tam giác ABC

CE là đường trung tuyến đường của tam giác ABC

Vậy G là trung tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G cần AH là đường trung đường của tam giác ABC

HB = HC

Xét nhì tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân nặng tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta có IA = IG cần CI là mặt đường trung đường của tam giác AGC (1)

Ta lại có KG = KC cần AK là con đường trung con đường của tam giác AGC (2)

DG là con đường trung đường của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 con đường trung đường CI, AK, DG đồng quy tại I

Bài 2: Cho tam giác ABC bao gồm BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung con đường của tam giác ABC.

Xem thêm: Ic Khuếch Đại Thuật Toán Là Bộ Khuếch Đại, Mạch Khuếch Đại Thuật Toán Là Gì

Lời giải:

Gọi độ nhiều năm trung tuyến từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC theo lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng bí quyết trung con đường ta có:

*

Vì độ dài các đường trung tuyến đường (là độ nhiều năm đoạn thẳng) buộc phải nó luôn luôn dương, vì đó:

*

Bài 3: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ con đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP

Lời giải:

Ta tất cả MI là mặt đường trung tuyến đường của ∆MNP bắt buộc IN = IP

Mặt không giống ∆MNP là tam giác cân tại M

=> mày vừa là con đường trung đường vừa là đường cao

=> ngươi ﬩ NP

Bài 4: Cho tam giác ABC gồm AB = AC, gọi K là giao điểm của hai tuyến phố trung tuyến đường BM và CN. Chứng tỏ rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

b. KB = KC

c. BC

*
bí quyết tính độ dài mặt đường trung tuyến đường (ảnh 12)" />

a. Ta có: AB = AC (gt)

*
công thức tính độ dài con đường trung đường (ảnh 13)" />

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

*
bí quyết tính độ dài mặt đường trung đường (ảnh 14)" />

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là mặt đường trung tuyến)

MA = MC (MB là mặt đường trung tuyến)

Suy ra NM là mặt đường trung bình của tam giác ABC

*
bí quyết tính độ dài mặt đường trung tuyến đường (ảnh 15)" />

Xét tam giác NKM có:

NM 2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta tất cả ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền bắt buộc AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông trên A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông trên A, vận dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trung tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài bố đường trung tuyến của tam giác ABC. Xác minh nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

*

Lời giải:

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

*

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC tất cả AB = 3, BC = 5 với độ dài con đường trung tuyến 

*
. Độ nhiều năm AC là:

*

Hướng dẫn giải:

*

BM là trung tuyến đường của tam giác ABC, áp dụng công thức trung đường ta có:

*

Đáp án B