Toán 12 Ôn Tập Chương 3

     

Lý thuyết Ôn tập chương 3 lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, gọn ghẽ và bài bác tập từ bỏ luyện bao gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng trung khu Toán 12 Ôn tập chương 3.

Bạn đang xem: Toán 12 ôn tập chương 3


Lý thuyết Toán 12Ôn tập chương 3

A. Lý thuyết

1. Nguyên hàm và tính chất

1.1 Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng chừng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K giả dụ F’(x) = f(x) với đa số x∈K.

Ví dụ.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng −∞;+∞vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx cùng với ∀x∈−∞;+∞.

- Hàm số F(x)=x+ ​2x−3là một nguyên hàm của hàm số f(x)=−5(x−3)2 bên trên khoảng(−∞;  3) ∪(3; +​ ∞)

Vì F"(x)= x+ ​2x−3 "=−5(x−3)2=  f(x) với∀x∈(−∞;3)∪(3;+∞)

- Định lí 1.

Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) bên trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong nguyên hàm của f(x) bên trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K thì đầy đủ nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một trong hằng số.

Do đó F(x)+C;  C∈ℝlà họ toàn bộ các nguyên hàm của f(x) bên trên K.

Kí hiệu:∫f(x)​dx   =   F(x)  + C

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vị dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ.

*

1.2 đặc thù của nguyên hàm

*

Ví dụ. Kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f(x)  =  3x2  +​  2sinxtrên khoảng chừng −∞;+∞.

Lời giải:

*

1.3 Sự mãi mãi nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều phải sở hữu nguyên hàm bên trên K.

Ví dụ.

a) Hàm số y=  xcó nguyên hàm trên khoảng chừng 0;  + ∞.

∫xdx=∫x12dx=23x32 +C=23xx+C

b) Hàm số y = 1x tất cả nguyên hàm bên trên khoảng−∞;0∪0;+∞

∫1xdx  =  lnx  +​  C

1.4 Bảng nguyên hàm của một số trong những hàm số hay gặp

*

Ví dụ. Tính:

a)∫3x4+​  x3dx

b)∫(5ex  − 4x+​ 2)dx

Lời giải:

*

- Chú ý: từ bỏ đây, yêu ước tìm nguyên hàm của một hàm số được gọi là tìm kiếm nguyên hàm trên từng khoảng xác minh của nó.

2. Cách thức tính nguyên hàm.

2.1Phương pháp thay đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu∫f(u)du=  F(u)  +​  C với u = u(x) là hàm số bao gồm đạo hàm liên tục thì:

∫f(u(x)). u"(x)dx=F(u(x))+C

Hệ quả: trường hợp u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

∫f(ax+ ​b)dx =1aF(ax+​ b)+​ C

Ví dụ. Tính ∫(3x+ ​2)3dx.

Lời giải:

Ta có: ∫u3du =  u44  +​ Cnên theo hệ quả ta có:

∫(3x+ ​2)3dx =(3x+2)44  +​  C

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khoản thời gian tính nguyên hàm, ta phải quay lại biến x thuở đầu bằng cách thay u vì u(x).

Ví dụ. Tính ∫sinx.cos2xdx.

Lời giải:

*

2.2 cách thức tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu nhị hàm số u = u(x) và v = v(x) bao gồm đạo hàm tiếp tục trên K thì:

∫u(x). v"(x).dx=u(x).v(x)−  ∫u"(x).v(x)dx

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Bắt buộc đẳng thức trên còn được viết sống dạng:

∫udv  = uv−  ∫vdu

Đó là phương pháp nguyên hàm từng phần.

Ví dụ. Tính

*

Lời giải:

*

*

*

3. Tư tưởng tích phân

3.1 diện tích hình thang cong

- mang lại hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai tuyến phố thẳng x = a; x = b được điện thoại tư vấn là hình thang cong.

- Ta xét vấn đề tìm diện tích s hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong số lượng giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a x∈a; b, kí hiệu S(x) là diện tích s của phần hình thang cong kia nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox theo thứ tự tại a cùng b.

Ta chứng tỏ được S(x) là một nguyên hàm của f(x) bên trên đoạn .

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C làm thế nào cho S(x) = F(x) + C.

Vì S(a) = 0 đề nghị F(a) + C = 0 tốt C = – F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang đề nghị tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

3.2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số thường xuyên trên đoạn . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) bên trên đoạn .

Hiệu số F(b) – F(a) được call là tích phân từ a mang đến b (hay tích phân khẳng định trên đoạn ) của hàm số f(x), kí hiệu ∫abf(x)dx.

Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy∫abf(x)dx=F(x)ab  =F(b)−F(a)

Ta gọi ∫ab là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu vết phân với f(x) là hàm số dưới vết tích phân.

- Chú ý.

Trong trường đúng theo a = b hoặc a > b, ta quy ước:

∫aaf(x)dx=0; ∫abf(x)​dx=−∫baf(x)​dx

Ví dụ.

a)∫02(x+​2)dx

=x22+2x02=6−0=6

b)∫0π2(2+​ cosx)dx

=2x+​  sinx0π2=(π+1)−0=π+1

- nhấn xét.

a) Tích phân của hàm số f từ bỏ a đến b có thể kí hiệu là ∫abf(x)dxhay ∫abf(t)dt. Tích phân kia chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà lại không dựa vào vào đổi thay x tốt t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) tiếp tục và không âm bên trên đoạn thì tích phân ∫abf(x)dxlà diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi trang bị thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy S​ =  ∫abf(x)dx.

4. Tính chất của tích phân.

*

Ví dụ. Tính: ∫0π(3x− 4sinx)dx.

Xem thêm: Một Ngày Mới Nắng Lên Xanh Màu, Lời Bài Hát Giọt Sương

Lời giải:

Ta có:

∫0π(3x− 4sinx)dx  =  3∫0πxdx  − 4∫0πsinxdx=  3.x220π  +​4cos x0π  = 3π22 +​​​ (−4−4) =3π22  −  8

- đặc thù 3.

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(a ∫−22xdx.

Lời giải:

*

5. Phương thức tính tích phân

5.1 cách thức đổi biến số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn . đưa sử hàm sốx=  φ(t) gồm đạo hàm thường xuyên trên đoạn α;  βsao mang đến φ(α)=a;φ(β)=bvà a≤φ(t)≤b∀t∈α;β.

Khi đó:∫abf(x)​dx =  ∫αβfφ(t). φ"(t)dt

Ví dụ. Tính ∫011−x2dx.

Lời giải:

*

- Chú ý:

Trong những trường hòa hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn . Để tính ∫abf(x)dx, nhiều lúc ta lựa chọn hàm số u = u(x) làm trở thành số mới, trong những số đó trên đoạn , u(x) tất cả đạo hàm thường xuyên và u(x)∈α;β.

Giả sử rất có thể viết: f(x) = g(u(x)). U’(x) cùng với x∈a;  bvới g(u) liên tiếp trên đoạn α;  β

Khi đó, ta có:∫abf(x)dx=∫u(a)u(b)g(u)du

Ví dụ. Tính ∫0πx.sinx2dx.

Lời giải:

*

5.2 cách thức tính tích phân từng phần

- Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là nhị hàm số gồm đạo hàm tiếp tục trên đoạn thì:

∫abu(x).v"(x)dx =u(x).v(x)ab−∫abv(x).u"(x)dx

Hay∫abudv  = uvab  − ∫abvdu

Ví dụ. TínhI=∫0π2xsinxdx.

Lời giải:

*

Ví dụ. Tính I=∫0e−1xln(x+1)dx.

Lời giải:

*

6. Tính diện tích s hình phẳng

6.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: S​  =  ∫abf(x)dx.

*

Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được số lượng giới hạn bởi y = 5x4 + 3x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng phải tính là:

S= ∫01  5x4+ 3x2 dx= ∫01  5x4+ 3x2dx=  x5+​ x3 01 = 2

6.2 Hình phẳng được số lượng giới hạn bởi 2 mặt đường cong

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi thứ thị hàm số y = f(x); y = g(x) tiếp tục trên đoạn và hai tuyến đường thẳng x = a; x = b được xác định:

S​  =  ∫abf(x)−g(x)dx(*).

- Chú ý.

Khi áp dụng công thức (*), đề xuất khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Mong muốn vậy ta giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 trên đoạn .

Giả sử phương trình bao gồm hai nghiệm c; d (c ∫acf(x)−g(x)dx =∫acf(x)−  g(x)dx

Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được số lượng giới hạn bởi những đường trực tiếp x = 0; x = 2 và các đồ thị của nhì hàm số y = x – 1 và y = x2 – 1.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai tuyến đường cong:

*

7. Tính thể tích

7.1 Thể tích của trang bị thể

Cắt một thứ thể (H) vì chưng hai khía cạnh phẳng (P) với (Q) vuông góc với trục Ox theo thứ tự tại x = a; x = b (a (a≤  x≤b) cắt (H) theo tiết diện có diện tích là S(x). Trả sử S(x) liên tục trên đoạn .

Khi đó, thể tích V của phần vật dụng thể giới hạn bởi nhị mặt phẳng (P) với (Q) được xác minh bởi công thức: V=∫abS(x)dx.

7.2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt.

a) cho khối chóp có diện tích s đáy là B, chiều cao h.

Khi đó, thể tích của khối chóp là V =  13B.h.

b) mang lại khối chóp cụt tạo vày khối chóp đỉnh S có diện tích s hai lòng lần lượt là B; B’ và chiều cao là h.

Thể tích của khối chóp cụt là:

V=h3B+B.B"+B"

8. Thể tích khối tròn xoay

- Thể tích khối tròn chuyển phiên được ra đời khi tảo hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), trục hoành và hai tuyến phố thẳng x = a; x = b quanh trục Ox:

V  =  π∫abf2(x)dx

Ví dụ. mang đến hình phẳng số lượng giới hạn bởi mặt đường cong , trục hoành và hai tuyến đường thẳng x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay phải tính là:

V  =  π∫02x4dx =  πx5502  =32π5

B. Bài xích tập trường đoản cú luyện

Bài 1. Trong những cặp hàm số sau, hàm số nào là một trong những nguyên hàm của hàm số còn lại.

a) x3 và x44  +​  10;

b) e–2x + 2 và – 2e–2x.

Lời giải:

a) Ta có:

x44  +​  10"=  x44" +​ 10"= x3

Do đó, F(x) = x44  +​  10là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3.

b) Ta có: (e–2x + 2)’ = – 2e–2x đề nghị F(x) = e–2x + 2 là 1 nguyên hàm của hàm số

f(x) = – 2e–2x.

Bài 2. tìm nguyên hàm của những hàm số sau:

a) f(x)= 2x+​ ex+​ 2;

b) f(x) = sinx + cosx.

Lời giải:

*

Bài 3. Sử dụng cách thức đổi biến, tính:

*

Lời giải:

*

*

*

Bài 4. Sử dụng phương thức tính nguyên hàm từng phần, tính:

a) ∫(x+ ​2).sinxdx;

b) ∫(x+ ​1).lnxdx.

Lời giải:

*

*

Bài 5. Tính những tích phân sau:

a) ∫12x2+4xxdx;

b) ∫−π2π3sinxdx.

Lời giải:

*

Bài 6. Sử dụng cách thức đổi biến, hãy tính:

*

Lời giải:

*

*

*

Bài 7. Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:

*

Lời giải:

*

*

*

*

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường sau:

a) y = x3 – 3x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4;

b) y = 2 – x2; y = –x.

Lời giải:

*

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ vật thị :

*

Bài 9. Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x2 + 3, tiếp tuyến đường của (P) trên điểm gồm hoành độ x = 2 và trục tung?

Lời giải:

Ta có: y’ = 2x .

Suy ra: y’(2) = 4 cùng y(2) = 7.

Phương trình tiếp tuyến của (P) trên điểm tất cả hoành độ x = 2 là

y = 4(x – 2) + 7 = 4x – 1 .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) cùng tiếp tuyến:

x2 + 3 = 4x – 1x2 – 4x + 4 = 0

⇔x = 2

Diện tích hình phẳng đề nghị tính là:

S  =  ∫02x2+​ 3−  (4x−1)dx=  ∫02x2−4x+​4dx= ∫02x2−4x+​4dx  =  x33  −2x2+​  4x02  = 83

Bài 10. Tính thể tích khối tròn xoay bởi hình phẳng giới hạn bởi những đường sau xoay quanh Ox.

a) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1;

b) y = –x2 + 2x ; y = 0.

Lời giải:

a) Theo phương pháp ta có thể tích của khối tròn xoay buộc phải tính là:

V=π∫01(x3+1)2dx=π∫01x6+ 2x3+ 1dx=πx77 + x42 +​x01 =23π14.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai thứ thị là:

– x2 + 2x = 0⇔x=0x=2

Theo cách làm ta rất có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

V=π∫02(−x2+2x)2dx.=  π∫02(x4+4x2−4x3)dx= πx55  ​+ 4x33−x402=16π15

Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 3 - Nguyên hàm - Tích phân cùng ứng dụng

Câu 1.

Xem thêm: Plea S Toàn Phần Hình Nón - Công Thức Tính Diện Tích Xung Quanh Hình Nón

ChoFxlà một nguyên hàm của hàm sốfx=sin2x1+cosxthỏa mãnFπ2=0. TínhF0.